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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且SAOP=4SBOC , 求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值

【答案】
(1)

解:把A(﹣3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得

解得

故该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.


(2)

解:由(1)知,该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,则易得B(1,0).

∵SAOP=4SBOC

×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3.

整理,得(x+1)2=0或x2+2x﹣7=0,

解得x=﹣1或x=﹣1±2

则符合条件的点P的坐标为:(﹣1,4)或(﹣1+2 ,﹣4)或(﹣1﹣2 ,﹣4)


(3)

解:设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(﹣3,0),C(0,3)代入,

解得

即直线AC的解析式为y=x+3.

设Q点坐标为(x,x+3),(﹣3≤x≤0),则D点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),

QD=(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+ 2+

∴当x=﹣ 时,QD有最大值


【解析】(1)把点A、C的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数的方程组,通过解方程组求得系数的值;(2)设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3),根据SAOP=4SBOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标;(3)先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为(x,x+3),则D点坐标为(x,x2+2x﹣3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质,需要了解二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.

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