Question

【题目】如图所示，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，按如下步骤折叠该菱形纸片：

第一步：如图①，将菱形纸片ABCD折叠，使点A的对应点A′恰好落在边CD上，折痕EF分别与边AD、AB交于点E、F，折痕EF与对应点A、A′的连线交于点G．

第二步：如图②，再将四边形纸片BCA′F折叠使点C的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N．

第三步：展开菱形纸片ABCD，连接GC′，则GC′最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

注意到G为AA'的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在∠AFA'的角平分线上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，则GP＝GH，根据垂线段最短原理可知GH就是所求最小值．

解：如图，作GH⊥AB于H，DR⊥AB于R，GP⊥A'F于P，A'Q⊥AB于Q．

∵四边形ABCD是菱形，

∴DA＝AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，

∴A'Q＝DR，

∵∠BAD＝60°，

∴A'Q＝DR＝AD＝2，

∵A'与A关于EF对称，

∴EF垂直平分AA'，

∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，

∴GP＝PH，

又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB

∴GH∥A'B，

∴GH＝A'Q＝DR＝，

所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．

故答案为：．