Question

7．请观察下列算式，找出规律并解题：
$\frac{1}{1×2}$=1$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{5}$，则：
（1）第10个算式是$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$．　
（2）第n个算式是$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（3）求$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$的值；
（4）计算$\frac{1}{1×4}$$+\frac{1}{4×7}$$+\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{22×25}$．

Answer 1

分析 （1）由题意知序数与序数加1乘积的倒数等于序数和序数加1的倒数差，据此可得；
（2）根据（1）中规律可得；
（3）利用以上规律，裂项相消求解可得；
（4）根据以上规律将原式变形可得$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{22}$-$\frac{1}{25}$），继而可得答案．

解答 解：（1）第10个算式为$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$，
故答案为：$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$；

（2）第n个算式为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；

（4）原式=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{22}$-$\frac{1}{25}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{25}$）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{24}{25}$
=$\frac{8}{25}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律及实数的混合运算，利用已得规律，运用裂项相消的计算方法是解题的关键．