Question

13．如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于点D．
（1）求证：∠A=2∠D；
（2）若CD∥AB，判断∠ABC与∠A的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出∠A与∠D，从而不难发现两者的数量关系，进一步得出答案即可；
（2）根据平行线的性质得到∠A=∠ACD，∠ABC=∠DCE，由角平分线的性质得到∠ACD=∠DCE，由等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBE=2（∠DCE-∠DBE），
∴∠A=2∠D；

（2）解：∠ABC=∠A，
理由：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD，∠ABC=∠DCE，
∵CD平分△ABC的外角∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠A=∠ABC．

点评 此题主要考查平行线的性质，角平分线的意义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，解决本题的关键是三角形外角的性质．