Question

10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．
（I）如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转30°，所得到与AB交于点M，则CM的长=6；
（II）如图②，点D是边AC上一点D且AD=2$\sqrt{3}$，将线段AD绕点A旋转，得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转150度时，线段CF的长最大，最大值为6+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解．
（2）取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以EF=$\frac{1}{2}$AD，因为EC+EF≥CF，所以CF最大值=EC+EF=6+$\sqrt{3}$，

解答 解：（Ⅰ）如下图①所示：

∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，
∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC
∵∠BAC=30°，
∴△MBC为等边三角形，
∴AM=MB=CM
又∵BC=6，
∴AB=2BC=12，
∴CM=6
故答案为：6
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，
∴AB=12，
取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵EC+EF≥CF，
CF最大值=EC+EF=6+$\sqrt{3}$，
即：当将线段AD绕点A逆时针旋转 150度时，线段CF的长最大，最大值为6+$\sqrt{3}$．
故答案为：150；6+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质及特殊三角形的性质，并具有综合应用的能力．