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【题目】如图,抛物线经过点和点,与轴交于点.

1)求该抛物线的解析式;

2)点是直线上方抛物线上一动点,过点于点平行于轴,交于点,设点的横坐标为,试求出线段的最大值,并写出此时点的坐标;

3)抛物线上是否存在一点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)点的坐标为.

【解析】

1)利用待定系数法求解即可;

2)如图1,延长轴于点,先利用锐角三角函数的知识得到MDME的关系式,把求MD的最大值转化为求ME的最大值,再利用ME=MFEN得出ME关于m的函数关系式,然后利用二次函数的性质即可求出ME的最大值,问题即得解决;

3)如图2,作点关于轴的对称点,先证明是等腰三角形,得=ABC,当点Px轴上方时,过点轴于点,则,于是只要求出直线的解析式,再与抛物线的解析式联立组成方程组,解方程组即得符合条件的点P;当点Px轴下方时,作点关于轴的对称点,作直线,再求直线BH与抛物线的交点即得符合条件的另一个点P.

解:(1)将点和点代入,得

.解得

∴抛物线的解析式为.

2)如图1,延长轴于点

.

A0,4

.

.

.

∴当线段最长时,最长.

∵点的横坐标为,∴点的坐标为.

∵点,∴直线的解析式为.

,∴.

∴当时,线段取最大值为.

∴相应的MD的最大值为,此时点M的坐标为.

3)点的坐标为.

理由如下:如图2,作点关于轴的对称点,∵OB=3OA=4,∴AB=5

=8,∴BC=5=AB,∴是等腰三角形,∴=ABC

当点Px轴上方时,过点轴于点,则,∴直线BG与抛物线的交点即为符合条件的点P.

此时,∴点,∴直线的解析式为.

联立方程组,解得(舍去),

∴点P的坐标为(54);

当点Px轴下方时,作点关于轴的对称点,作直线,则,可得另一直线的解析式为.

解方程组,得(舍去),

∴点P的坐标为(11,-7);

综上,抛物线上存在一点,使得,且点P的坐标为(54)或(11,-7.

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