【题目】如图,抛物线经过点和点,与轴交于点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点是直线上方抛物线上一动点,过点作于点,平行于轴,交于点,设点的横坐标为,试求出线段的最大值,并写出此时点的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点,使得,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2),;(3)点的坐标为或.
【解析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)如图1,延长交轴于点,先利用锐角三角函数的知识得到MD与ME的关系式,把求MD的最大值转化为求ME的最大值,再利用ME=MF-EN得出ME关于m的函数关系式,然后利用二次函数的性质即可求出ME的最大值,问题即得解决;
(3)如图2,作点关于轴的对称点,先证明是等腰三角形,得=∠ABC,当点P在x轴上方时,过点作交轴于点,则,于是只要求出直线的解析式,再与抛物线的解析式联立组成方程组,解方程组即得符合条件的点P;当点P在x轴下方时,作点关于轴的对称点,作直线,再求直线BH与抛物线的交点即得符合条件的另一个点P.
解:(1)将点和点代入,得
.解得
∴抛物线的解析式为.
(2)如图1,延长交轴于点,
则,
∵,
∴.
∵A(0,4)
∴.
∴.
∴.
∴当线段最长时,最长.
∵点的横坐标为,∴点的坐标为.
∵点,,∴直线的解析式为.
∴,∴.
∴当时,线段取最大值为.
∴相应的MD的最大值为,此时点M的坐标为.
(3)点的坐标为或.
理由如下:如图2,作点关于轴的对称点,∵OB=3,OA=4,∴AB=5,
∵=8,∴BC=5=AB,∴是等腰三角形,∴=∠ABC,
当点P在x轴上方时,过点作交轴于点,则,∴直线BG与抛物线的交点即为符合条件的点P.
此时,∴点,∴直线的解析式为.
联立方程组,解得,(舍去),
∴点P的坐标为(5,4);
当点P在x轴下方时,作点关于轴的对称点,作直线,则,可得另一直线的解析式为.
解方程组,得,(舍去),
∴点P的坐标为(11,-7);
综上,抛物线上存在一点,使得,且点P的坐标为(5,4)或(11,-7).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线:与轴,轴分别交于,两点,且点,点在轴正半轴上运动,过点作平行于轴的直线.
(1)求的值和点的坐标;
(2)当时,直线与直线交于点,反比例函数的图象经过点,求反比例函数的解析式;
(3)当时,若直线与直线和(2)反比例函数的图象分别交于点,,当间距离大于等于2时,求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x2+y1y2=0,且A,B均不为原点,则称A和B互为正交点.比如:A(1,1),B(2,﹣2),其中1×2+1×(﹣2)=0,那么A和B互为正交点.
(1)点P和Q互为正交点,P的坐标为(﹣2,3),
①如果Q的坐标为(6,m),那么m的值为多少;
②如果Q的坐标为(x,y),求y与x之间的关系式;
(2)点M和N互为正交点,直接写出∠MON的度数;
(3)点C,D是以(0,2)为圆心,半径为2的圆上的正交点,以线段CD为边,构造正方形CDEF,圆心F在正方形CDEF的外部,求线段OE长度的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了增强学生体质,某校对学生设置了体操、球类、跑步、游泳等课外体育活动,为了了解学生对这些项目的喜爱情况,在全校范围内随机抽取了若干名学生,对他们最喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查,将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图(均不完整).
(1)在这次问卷调查中,一共抽查了多少名学生?
(2)补全频数分布直方图,求出扇形统计图中“体操”所对应的圆心角度数;
(3)估计该校名学生中有多少人喜爱跑步项目.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在中,,点是外接圆的圆心,过点作的垂线,交的延长线于点,过点作的切线,交于点,连接,.
(1)求证:;
(2)填空:①当的度数为_________时,四边形为平行四边形;
②当时,的值为____________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”.例如:P(1,0)、Q(2,﹣2)都是“整点”.抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2(m>0)与x轴交于A、B两点,若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m的取值范围是_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部,上游接纳清泥河来水,下游为鹿鸣湖等水系供水,承担着承上启下的重要作用,是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A,B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走,走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前走300米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为200米,求A,B两点之间的距离(结果保留一位小数)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】设a,b是任意两个不等实数,我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=﹣x+4.当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,有1≤y≤3,所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”
(1)反比例函数是闭区间[1,2019]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由.
(2)若二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[1,2]上的“闭函数”,求k的值;
(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式(用含m,n的代数式表示).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,P是边长为3的等边△ABC边AB上一动点,沿过点P的直线折叠∠B,使点B落在AC上,对应点为D,折痕交BC于E,点D是AC的一个三等分点,PB的长为______.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com