Question

【题目】已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE交于H，DA=DB，BH=AC,点F为BH的中点,∠ABE=15°.

（1）求证：△ADC≌△BDH

（2）求证：DC=DF

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可；
（2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，然后根据含30度角的直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质证明即可；

证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDH=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDH中，

∴△ADC≌△BDH（HL）．

（2）∵DB=DA，
∴∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠ABE=15°，
∴∠DBH=30°，
∴DH=BH，
∵BF=FH，
∴DF=BH，
∴DF=DH，
∵△ADC≌△BDH；
∴CD=DH，
∴DC=DF．