Question

【题目】已知：直线l：y=2kx-4k+3（k≠0）恒过某一定点P．
（1）求该定点P的坐标；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2，3）；（2）k≥；（3）-＜k＜0或0＜k＜．

【解析】

（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P的坐标；
（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围；
（3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k的取值范围．

（1）∵y=2kx-4k+3=2k（x-2）+3，
∴y=2kx-4k+3（k≠0）恒过某一定点P的坐标为（2，3），
即点P的坐标为（2，3）；
（2）∵点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），直线l与线段AB相交，直线l：y=2kx-4k+3（k≠0）恒过某一定点P（2，3），
∴，

解得，k≥.

（3）当k＞0时，直线y=2kx-4k+3中，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，-4k+3≤y≤3，
∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴，

得k＜，
∴0＜k＜；
当k＜0时，直线y=2kx-4k+3中，y随x的增大而减小，
∴当0≤x≤2时，3≤y≤-4k+3，
∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴3+3＞-4k+3，得k＞-，
∴-＜k＜0，
由上可得，-＜k＜0或0＜k＜．