Question

11．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F，且AC=13，AB=12，∠ABC=90°求：⊙O的半径长．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出BC=5，再根据切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，则可判断四边形BEOD为正方形，得到BD=BE=OD，设⊙O的半径为r，则BE=BD=r，AD=AB-BD=12-r，CE=BC-BE=5-r，然后利用切线长定理得到AF=AD=12-r，CF=CE=5-r，于是12-r+5-r=13，再解关于r的方程即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∵AC=13，AB=12，
∴BC=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC分别切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴四边形BEOD为正方形，
∴BD=BE=OD，
设⊙O的半径为r，则BE=BD=r，AD=AB-BD=12-r，CE=BC-BE=5-r，
∵Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别切于点D、E、F，
∴AF=AD=12-r，CF=CE=5-r，
∴12-r+5-r=13，
解得r=2，
即⊙O的半径长为2．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．