Question

19．如图，等边△ABC的边长是2，内心O是直角坐标系的原点，点B在y轴上．若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0），则k的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 AC与y轴交于D，如图，连结OC，根据三角形内心性质得BD平分∠ABC，OC平分∠ACB，再根据等边三角形的性质得BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，∠OCD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，接着在Rt△ODC中利用三角函数可计算出OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．

解答 解：AC与y轴交于D，如图，连结OC，
∵点O△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，∠OCD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△ODC中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{CD}$，
∴OD=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．