Question

【题目】如图，AD是⊙O的直径，BA＝BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若BC＝2，BE＝4，求⊙O半径r．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠ABD=90°，∠C=∠D，证出∠BAD+∠BAF=90°，得出AF⊥AD，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠BAC=∠C，∠C=∠D，得出∠BAC=∠D，再由公共角∠ABE=∠DBA，即可得出△ABE∽△DBA，求出AB长，由勾股定理可求出AD长，则⊙O半径可求出．

(1)证明：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠BAD+∠D=90°，

∵∠BAF=∠C，∠C=∠D，

∴∠BAF=∠D，

∴∠BAD+∠BAF=90°，

即∠FAD=90°，

∴AF⊥AD，

∴AF是⊙O的切线；

(2)解：∵AB=BC，

∴，

∴∠BAC=∠C，

∵∠C=∠D，

∴∠BAC=∠D，即∠BAE=∠D，

又∵∠ABE=∠DBA，

∴△ABE∽△DBA；

∴，

∴AB2=BDBE，

∵AB=BC=2，BE=4，

∴BD=，

∴AD，

∴⊙O半径r=．