Question

8．如图，平面直角坐标系中，A（-1，0），C是x轴负半轴上一点，B是y轴正半轴上一点，OB：AC=3：2，S_△ABC=3．
（1）求B、C的坐标；
（2）D（0，5），连AD交BC于F，求证：DF=AF；
（3）如图，P是△BOC内一点，BP⊥OP，作射线CP，BE⊥CP于E，OF⊥OP交BE于F，求∠BPF的度数．

Answer 1

分析 （1）设AC=2x，则OB=3x，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=3x²=3，求得B（0，3），C（-3，0）；
（2）由于直线BC的解析式为y=x+3，直线AD的解析式为y=5x+x求得交点坐标F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），定定F是AD的中点，即可得到结论；
（3）设射线CE与y轴交于M，直线BE与X轴交于N，根据垂直的定义得到∠BME=∠COM=90°，根据对顶角相等得到∠CMO=∠BME，推出△CMO∽△BME，根据相似三角形的性质得到∠PCO=∠FBO，得到△POC≌△FOC，根据全等三角形的性质得到PO=FO，由于△POF是等腰直角三角形，即可得到结论．

解答 解：（1）设AC=2x，则OB=3x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=3x²=3，
∴x=1（舍去），或x=-1，
∴B（0，3），C（-3，0）；

（2）∵B（0，3），C（-3，0），
∴直线BC的解析式为：y=x+3，直线AD的解析式为：y=5x+x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=5x+5}\end{array}\right.$得x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{5}{2}$，
∴F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴F是AD的中点，
∴DF=AF；

（3）设射线CE与y轴交于M，直线BE与X轴交于N，
∵BE⊥CP，
∴∠BME=∠COM=90°，∠CMO=∠BME，
∴△CMO∽△BME，∴∠PCO=∠FBO，
∵OF⊥OP，
∴∠POF=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠POC=∠FOB，
在△POC与△FOC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCO=∠FBO}\\{∠POC=∠FOB}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△FOC，
∴PO=FO，
∵△POF是等腰直角三角形，
∴∠FPO=45°，
∴∠BPF=90°-45°=45°．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，两直线相交或平行问题．熟练掌握各定理是解题的关键．