Question

3．关于x的一元二次方程x²-3（m+1）x+3m+2=0．
（1）求证：无论m为何值时，方程总有两个实数根；
（2）若函数y=x²-3（m+1）x+3m+2的最小值为0，求m的值；
（3）若抛物线y=x²-3（m+1）x+3m+2与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），且A、B到原点O的距离OA、OB满足OA+OB=5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再进行配方得到△=（3m+1）²，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质得$\frac{4（3m+2）-9（m+1）^{2}}{4}$=0，然后解方程即可得到m的值；
（3）先利用公式法解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0得x₁=3m+2，x₂=1，根据抛物线与x轴的交点问题得到A（3m+2，0），B（1，0），根据题意得到|3m+2|+1=5，然后解绝对值方程即可得到m的值．

解答 （1）证明：△=9（m+1）²-4（3m+2）
=9m²+6m+1
=（3m+1）²，
∵（3m+1）²≥0，即△≥0，
∴无论m为何值时，方程总有两个实数根；
（2）解：$\frac{4（3m+2）-9（m+1）^{2}}{4}$=0，
解得m=-$\frac{1}{3}$；
（3）解：解方程x²-3（m+1）x+3m+2=0得x=$\frac{3（m+1）±（3m+1）}{2}$，
所以x₁=3m+2，x₂=1，
∵抛物线y=x²-3（m+1）x+3m+2与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴A（3m+2，0），B（1，0），
而OA+OB=5，
∴|3m+2|+1=5，
∴m=$\frac{2}{3}$或m=-2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式的意义和二次函数的性质．