Question

14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．
（1）证明：CQ=EF；
（2）试探索EF与AB位置关系，并说明理由；
（3）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，结论（2）是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和SAS证明△PEF与△CQP全等即可；
（2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；
（3）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB．

解答 证明：（1）∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
在△PFE和△PCQ中
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PC}\\{∠EPF=∠QPC}\\{PE=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PFE≌△PCQ（SAS）；
∴CQ=EF；
（2）EF⊥AB，理由如下：
∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
在△PFE和△PCQ中
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PC}\\{∠EPF=∠QPC}\\{PE=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PFE≌△PCQ（SAS）；
∴∠EFP=∠QCP=90°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；
（3）当点P为BC延长线上任意一点时，（2）结论成立．
∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
在△PFE和△PCQ中
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PC}\\{∠EPF=∠QPC}\\{PE=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PFE≌△PCQ（SAS）；
∴∠EFP=∠QCP=90°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB．

点评 本题综合考查了全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解答本题要充分利用等边三角形的三边关系、三角关系，可有助于提高解题速度和准确率．