Question

5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在边AB上，且∠DCE=45°
（1）以点C为旋转中心，将△ADC顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）若AD=2，BE=3，求DE的长；
（3）若AD=1，AB=5，直接写出DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质作图；
（2）连结EF，如图，先根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠ABC=45°，再根据旋转的性质得CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，则可根据“SAS”判断△DCE≌△FCE，得到DE=FE，然后在△BEF中利用勾股定理计算EF，从而得到DE的长；
（3）设ED=x，则BE=4-x，由（2）的证明得到EF=DE=x，BF=AD=1，然后在Rt△BEF中利用勾股定理得到1²+（4-x）²=x²，再解方程即可．

解答 解：（1）如图，△BCF为所作；
（2）连结EF，如图，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△ADC顺时针旋转90°得到△BCF，
∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠FCE=45°，
在△DCE和△FCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{∠DCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FCE，
∴DE=FE，
在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°，
∴∠EBF=90°，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴DE=$\sqrt{13}$；
（3）∵AD=1，AB=5，
∵BD=4，
设ED=x，则BE=4-x，
由（2）得EF=DE=x，BF=AD=1，
在Rt△BEF中，1²+（4-x）²=x²，解得x=$\frac{17}{8}$，
即DE的长为$\frac{17}{8}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．本题的关键是把AD、DE、BE利用旋转组成一个直角三角形．