Question

2．已知y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1 
（1）把它配方成y=a（x-h）²+k形式；
（2）写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；
（3）求出图象与y轴、x轴的交点坐标；
（4）作出函数图象；
（5）x取什么值时y＞0，y＜0；
（6）设图象交x轴于A，B两点，求△AMB面积．

Answer 1

分析 （1）利用配方法可把一般式变形为y=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）求自变量为0时所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；求函数值为0时所对应的自变量的值可确定抛物线与x轴的交点坐标；
（4）利用描点法画函数图象；
（5）观察函数图象，写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围和函数图象在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可；
（6）先计算出AB，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1；
（2）抛物线的开口向上，顶点M的坐标（-2，-1），对称轴为直线x=-2，最小值为-1；
（3）当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²+2x+1=1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+2x+1=0，解得x₁=-2+$\sqrt{2}$，x₂=-2-$\sqrt{2}$，则抛物线与x轴的交点坐标为（-2+$\sqrt{2}$，0），（-2-$\sqrt{2}$，0）；
（4）如图，

（5）当x＜-2-$\sqrt{2}$或x＞-2+$\sqrt{2}$时，y＞0；
当-2-$\sqrt{2}$＜x＜-2+$\sqrt{2}$时，y＜0；
（6）如图，AB=-2+$\sqrt{2}$-（-2-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
所以△AMB面积=×2$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的三种常见形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函数的性质．