Question

11．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，∠A=45°，求S_△AEF：S_{四边形FBCE}．

Answer 1

分析 通过已知条件证得△ABE∽△ACF，得到$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$，且∠FAE=∠CAB，推出△ABC∽△AEF，证得△AFC是等腰直角三角形，得到$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AF}{AC}$）²=$\frac{1}{2}$，于是得到结果．

解答 解：∵BE、CF是高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，且∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$，且∠FAE=∠CAB，
∴△ABC∽△AEF，
∵∠A=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AF，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AF}{AC}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF：S_{四边形FBCE}=1：1．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例、面积比等于相似比的平方是解题的关键．