【题目】如图1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求点B的坐标;
(2)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
【答案】
(1)解:在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,
∴OA=OBcos30°=8× =4 ,
AB=OBsin30°=8× =4,
∴点B的坐标为(4 ,4);
(2)证明:∵∠OAB=90°,
∴AB⊥x轴,
∵y轴⊥x轴,
∴AB∥y轴,即AB∥CE,
∵∠AOB=30°,
∴∠OBA=60°,
∵DB=DO=4
∴DB=AB=4
∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°,
∴∠ADB=60°,
∵△OBC是等边三角形,
∴∠OBC=60°,
∴∠ADB=∠OBC,
即AD∥BC,
∴四边形ABCE是平行四边形;
(3)解:设OG的长为x,
∵OC=OB=8,
∴CG=8﹣x,
由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,
在Rt△AOG中,AG2=OG2+OA2,
即(8﹣x)2=x2+(4 )2,
解得:x=1,
即OG=1.
【解析】(1)由在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,根据三角函数的知识,即可求得AB与OA的长,即可求得点B的坐标;(2)首先可得CE∥AB,D是OB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证得BD=AD,∠ADB=60°,又由△OBC是等边三角形,可得∠ADB=∠OBC,根据内错角相等,两直线平行,可证得BC∥AE,继而可得四边形ABCD是平行四边形;(3)首先设OG的长为x,由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,然后根据勾股定理可得方程(8﹣x)2=x2+(4 )2 , 解此方程即可求得OG的长.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC就是格点三角形,建立如图所示的平面直角坐标系,点C的坐标为(0,﹣1).
(1)在如图的方格纸中把△ABC以点O为位似中心扩大,使放大前后的位似比为1:2,画出△A1B2C2(△ABC与△A1B2C2在位似中心O点的两侧,A,B,C的对应点分别是A1 , B2 , C2).
(2)利用方格纸标出△A1B2C2外接圆的圆心P,P点坐标是 , ⊙P的半径= . (保留根号)
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【题目】如图,平行四边形ABCD的顶点A、C在双曲线y1= 上,B、D在双曲线y2= 上,k1=2k2(k1>0),AB//y轴,S□ABCD=24,则k1=.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6),且与直线 相交于A,B两点,点A在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,求线段PE的最大值;
(3)在(2)的条件,设PC与AB相交于点Q,当线段PC与BE相互平分时,请求出点Q的坐标.
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【题目】如图,AB为⊙O的切线,切点为B,连接AO,AO与⊙O交于点C,BD为⊙O的直径,连接CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积为( )
A. ﹣
B. ﹣2
C.π﹣
D. ﹣
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点A(m,2),将直线y=2x向下平移后与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点P,且△POA的面积为2.
(1)求k的值.
(2)求平移后的直线的函数解析式.
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