Question

【题目】如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．

（1）请画出旋转后的图形，说出此时△ABP以点B为旋转中心最少旋转了多少度；

（2）求出PG的长度；

（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由；

（4）请你计算∠BGC的角度．

Answer 1

【答案】（1）△ABP以点B为旋转中心最少旋转了90度；（2）2；（3）△PCG是直角三角形；（4）135°

【解析】

（1）直接利用旋转的性质即可得出结论；
（2）先判断出BP=BG，进而利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（4）先求出∠BGP=45°，再求出∠PGC=90°，即可得出结论．

解：（1）如图，

由旋转知，旋转角为∠ABC＝90°，

∴△ABP以点B为旋转中心最少旋转了90度；

（2）连接PG，由旋转知，BP＝BG，∠PBG＝∠ABC＝90°，

∵BP＝2，

∴BG＝BP＝2，

∴PG＝BP＝2；

（3）由旋转知，CG＝AP＝1，

由（2）知，PG＝2，

∵PC＝3，

∴PG2+CG2＝8+1＝9，PC2＝9，

∴PG2+CG2＝PC2，

∴△PCG是直角三角形；

（4）由（2）知，BP＝BG，∠PBG＝90°，

∴∠BGP＝45°，

由（3）知，△PCG是直角三角形，

∴∠PGC＝90°，

∴∠BGC＝∠BGP+∠PGC＝135°．