【题目】已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；（2）不相切， C的横坐标分别为2和
；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3
），（0,1+3）.
【解析】
（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可求得A、B两点坐标代入
y=-x2+bx+c，可求得抛物线的函数表达式;
（2）①设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3,可求得CD的长度表达式，可求得CD的最大值及与圆不相切；②分当CD在对称轴右边时与左边讨论，可得C的横坐标；
(3)根据菱形的性质直接写出点M的坐标即可.
解：（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得
，可得b=2，c=3
抛物线的函数表达式；
（2）①可得抛物线对称轴为：
1，
C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t
+2t+3），
=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），
当t=
=
时，CD最长，此时CD最长为
，
此时圆E的半径为
，此时CD与对称轴的距离为-1=
≠，
故不相切.
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
= -t+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：
=-1（舍去）；
=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t+3t=2（1-t），解得：
（舍去），
；
综上所述：t=2或t=，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
初中学业考试导与练系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_____．
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【题目】已知如图：点（1，3）在函数y=
（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）
（3）当∠ABD=45°时，求m的值．
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【题目】如图，已知
中，
厘米，
厘米，点
为
的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，
与
是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与是否可能全等？若能，求出全等时点Q的运动速度和时间；若不能，请说明理由．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
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【题目】已知抛物线y=mx2的图像经过点（1,2）.
（1）求出m的值和顶点的坐标，并画出这条抛物线；
（2）利用图像回答：x取什么值时，抛物线在直线y=2的上方？
（3）当－1≤x≤2时，求y的取值范围.
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【题目】某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.
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【题目】如图所示,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,若∠DAE=50°°,则∠BAC=________,若△ADE的周长为19cm,则BC=_____cm.
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【题目】人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学想法，其中转化思想是中学教学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．
问题提出：求边长分别为、
、
、
的三角形面积．
问题解决：
在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为
、、的格点三角形
（如图），
是角边为1和2的直角三角形斜边，
是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，
是直角边分别为2和3的直角三角形斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求的高，而借用网格就能计算它的面积.
（1）请直接写出图①中的面积为____________.
（2）类比迁移：求边长分别为、
、
的三角形面积（请利用图②的正方形网格画出相应的，并求出它的面积）
（3）思维拓展：求边长分别为
，的三角形的面积
（4）如图（3），已知
，以
，
为边向外作正方形
，正方形
，连接
，若
，则六边形 
的面积是_________.
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【题目】如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.10B.12C.16D.18
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