Question

【题目】如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+m经过E（2，3），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与x轴的交于点是H，点F是AE中点，连接FH．求线段FH的长；

（3）P为直线AE上方抛物线上的点．当△AEP的面积最大时．求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；（2）；（3）当t=时，S△PAE有最大值，此时P点坐标为（）

【解析】(1)、将点E的坐标代入解析式求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式分别求出点A、点B和点H的坐标，根据中点坐标的求法得出点F的坐标，最后根据两点之间的距离公式得出答案；(3)、过P作PG∥y轴，交直线AE于点G，首先利用待定系数法求出直线AE的函数解析式，设P（t，﹣（t﹣1）2+4），则G（t，t+1），根据三角形的面积等于铅垂×水平÷2得出函数解析式，根据二次函数的性质得出最大值．

（1）∵y=﹣（x﹣1）2+m经过E（2，3），∴3=﹣（2﹣1）2+m，解得m=4，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；

（2）在y=﹣（x﹣1）2+4中，令y=0可得﹣（x﹣1）2+4=0，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0），∵F是AE的中点，且E（2，3）∴F（，），

由抛物线解析式可求得抛物线对称轴为x=1，∴H（1，0），

∴FH==；

（3）如图，过P作PG∥y轴，交直线AE于点G，设直线AE解析式为y=kx+b，

∴，解得，∴直线AE解析式为y=x+1，

∵P为直线AE上方抛物线上的点，∴设P（t，﹣（t﹣1）2+4），则G（t，t+1），

∴PG=﹣（t﹣1）2+4﹣（t+1）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，

∴S△PAE=PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0， ∴当t=时，S△PAE有最大值，此时P点坐为（）．