Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．

（1）当m=3时，求点A的坐标；

（2）DE=　 　，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；

（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】（1）根据题意代入m值即可求得；

（2）利用ED∥y轴，AD=AC构造全等三角形将求DE转化为求FC，再利用三角形相似求出FC；用m表示D点坐标，利用代入消元法得到y与x函数关系．

（3）数值上线段中点坐标等于端点坐标的平均数，坐标系中同样可得线段中点横纵坐标分别是端点横纵坐标的平均数，利用此方法表示出F点坐标代入（2）中函数关系式即可．

（1）当m=3时，y=，

∴当x=3时，y=6，

∴点A坐标为（3，6）；

（2）如图，延长EA交y轴于点F，

∵DE∥x轴

∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，

∵AD=AC，

∴△FCA≌△EDA，

∴DE=CF，

∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），

∴BF=m2﹣m﹣（﹣m）=m2，AF=m，

∵Rt△CAB中，AF⊥x轴，

∴△AFC∽△BFA，

∴AF2=CFBF，

∴m2=CFm2，

∴CF=1，

∴DE=1，

故答案为：1；

由上面步骤可知，点E坐标为（2m，m2﹣m），

∴点D坐标为（2m，m2﹣m﹣1），

∴x=2m，

y=m2﹣m﹣1，

∴把m=代入y=m2﹣m﹣1，

∴y=（x＞2）；

（3）由题意可知，AF∥BD

当AD、BF为平行四边形对角线时，

由平行四边形对角线互相平分可得A、D和B、F的横坐标、纵坐标之和分别相等

设点F坐标为（a，b）

∴a+0=m+2m

b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1

∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1

代入y=，得

2m2﹣m﹣1=，

解得m1=2，m2=0（舍去）

当FD、AB为平行四边形对角线时，

同理设点F坐标为（a，b），

则a=﹣m，b=1﹣m，则F点在y轴左侧，由（2）可知，点D所在图象不能在y轴左侧

∴此情况不存在，

综上当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．