Question

如图，已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为E，连接AC、BC、BD、OD．
（1）求证：AC=OD；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在⊙O的圆周上找一点M，使A、C、M三点组成等腰三角形，请直接写出此时∠ACM的度数的所有情况．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定,等边三角形的判定与性质,垂径定理

专题：

分析：（1）首先连接OC，由弦CD垂直平分OA，易得△OAC是等边三角形，即可证得结论；
（2）由弦CD垂直平分OA，根据垂径定理可得BC=BD，易求得∠CBD=60°，即可证得△BCD是等边三角形；
（3）分别从AC=AM，AM=CM以及AC=CM去分析求解即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵弦CD垂直平分OA，
∴∠OEC=90°，OE=

1

2

OA=

1

2

OC，
∴∠OCE=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=OC，
∴AC=OD；

（2）△BCD是等边三角形．
理由：弦CD垂直平分OA，
∴BC=BD，
∵OC=OD，
∴∠DOE=∠COE=60°，
∴∠COD=120°，
∴∠CBD=

1

2

∠COD=60°，
∴△BCD是等边三角形；

（3）若AC=AM，则点M与点D重合，此时∠ACM=30°；
若AM=CM，则点M在AC的垂直平分线上，当点M在劣弧

AC

上时，∠ACM=15°；当点M在优弧

ABC

上时，∠ACM=75°；
若AC=CM，则∠ACM=120°．
综上可得：∠ACM的度数为：15°，30°，75°，120°．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．