Question

2．已知抛物线y=ax²+c的顶点为P，它与直线y=x+1交于两点A（1，m），B（n，-1），与x轴交于C、D两点，试求抛物线的表达式及△PCD的面积．

Answer 1

分析 先根据一次函数图象上点的坐标特征求出m、n的值，则可确定A（1，2），B（-2，-1），再把A点B点坐标代入y=ax²+c得到$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{4a+c=-1}\end{array}\right.$，解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，于是得到抛物线的解析式为y=-x²+3，则可写出P点坐标为（0，3），然后根据抛物线与x轴的交点问题求出C、D的坐标，再根据三角形面积公式求解．

解答 解：∵直线y=x+1过点A（1，m），B（n，-1），
∴m=1+1，n+1=-1，解得m=2，n=-2，
∴A（1，2），B（-2，-1），
∵抛物线y=ax²+c过点A（1，2），B（-2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2}\\{4a+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3，
∴顶点P的坐标为（0，3），
当y=0时，-x²+3=0，解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，
∴C（-$\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，0），
∴△PCD的面积=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$）×3=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．