Question

如图，在△OAB中，∠A=90°，△OCD是把△OAB以O为旋转中心，顺时针旋转而得到的（其中C与A对应），记旋转角为α，∠OBA为β．
（1）如图，当旋转后满足BD∥AO时，求α与β之间的数量关系；
（2）当旋转后满足OC⊥OB时，取BD的中点P，探究线段PO与PC的数量关系并予以证明．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）根据旋转的性质得OB=OD，∠BOD=α，则∠OBD=∠ODB，于是利用三角形内角和定理得到α=180°-2∠OBD，由于BD∥AO且∠A=90°，所以∠OBD=∠AOB=90°-β，易得α=2β；
（2）讨论：当C点在OA上方时，如图1，由∠OCD=∠BOC=90°得到OB∥CD．取OD的中点E，连PE，CE，根据三角形中位线性质得PE∥OB，则PE∥CD，利用平行线的性质得到∠OEP=∠EDC，∠CEP=∠ECD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CE=EO=ED，则可根据“SAS”证明△EOP≌△ECP，所以PO=PC；当C位于OA下方时，如图2，同样可证得PO=PC．

解答：解：（1）∵，△OCD是把△OAB以O为旋转中心，顺时针旋转而得到的，
∴OB=OD，∠BOD=α，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠OBD+∠ODB+α=180°，
∴α=180°-2∠OBD，
∵BD∥AO且∠A=90°，
∴∠OBD=∠AOB=90°-β，
∴α=180°-2（90°-β）=2β；
（2）PO=PC．
证明：当C点在OA上方时，如图1，
∵∠OCD=∠BOC=90°，
∴OB∥CD．
取OD的中点E，连PE，CE，
∵P为BD中点，
∴PE∥OB，
∴PE∥CD，
∴∠OEP=∠EDC，∠CEP=∠ECD，
∵∠OCD=90°，E为OD中点，
∴CE=EO=ED，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠OEP=∠CEP，
又∵EO=EC，EP=EP，
在△EOP和△ECP中

EO=EC ∠OEP=∠CEP EP=EP

，
∴△EOP≌△ECP，
∵PO=PC．
当C位于OA下方时，如图2，同样可证得PO=PC．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质．