Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠ABC=2∠C，E与F分别为边AD与DC上的两点，且有∠EBF=∠C．
（1）求证：BE：BF=BD：BC；
（2）当F为DC中点时，求AE：ED的比值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，证明∠EBD=∠FBC，此为解决问题的关键性结论；证明△EBD∽△FBC，即可解决问题．
（2）如图，证明

BE

BF

=

BD

BC

=

DE

CF

；证明△ABE∽△DBF，得到

BE

BF

=

AE

DF

，

DE

CF

=

AE

DF

，根据DF=CF，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵AD∥BC，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB；∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠DBC，而∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，而∠EBF=∠C，
∴∠EBF=∠DBC，
∴∠EBD=∠FBC，而∠EDB=∠C，
∴△EBD∽△FBC，
∴BE：BF=BD：BC．
（2）如图，∵△EBD∽△FBC，
∴

BE

BF

=

BD

BC

=

DE

CF

；
∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，∠DFB=∠C+∠FBC，
∴∠AEB=∠DFB，且∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴

BE

BF

=

AE

DF

，

DE

CF

=

AE

DF

，
∵DF=CF，
∴AE=DE，
∴AE：DE=1．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、平行线的性质、三角形外角的性质等几何知识点的应用问题；
对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．