Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线过点F且与y轴平行．直线y=kx+3过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3； （2）线段HG的长度有最大值； （3）当N的坐标为（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】试题分析：（1）把点的坐标代入函数表达式，即可求出的值；
（2）根据C点的坐标求出直线CD的解析式，然后结合图形设出K点的坐标表达出H点和G点的坐标，列出HG关于t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值；
（3）需要讨论解决，①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，当点N在点M的左侧时，MN=3-n；当点N在点M的右侧时，MN=n-3，然后根据已知条件在求n的坐标就容易了
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线时，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为过P点作轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求n的坐标就容易了．

试题解析：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x1)(x+3).

∵抛物线交y轴于点E(0,3)，将该点坐标代入上式，得a=1,

∴所求函数表达式为y=(x1)(x+3)，

即

(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点A坐标(3,0),点B坐标(1,0)，

∴点C坐标(5,0)，

∴将点C坐标代入得

∴直线CD的函数表达式为

设K点的坐标为(t,0),则H点的坐标为G点的坐标为

∵点K为线段AB上一动点，

∴当时,线段HG的长度有最大值

(3)∵点F是线段BC的中点,点B(1,0),点C(5,0)，

∴点F的坐标为(3,0)，

∵直线l过点F且与y轴平行，

∴直线l的函数表达式为x=3，

∵点M在直线l上，点N在抛物线上，

∴设点M的坐标为(3,m),点N的坐标为

∵点A(3,0),点C(5,0)，

∴AC=8，

分情况讨论：

①若线段AC是以点A.C,M、N为顶点的平行四边形的边,则需MNAC，且MN=AC=8.

当点N在点M的左侧时，MN=3n，

∴3n=8，解得n=5，

∴N点的坐标为(5,12)，

当点N在点M的右侧时，MN=n3，

∴n3=8，

解得n=11，

∴N点的坐标为(11,140)，

②若线段AC是以点A.C,M、N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称,取点F关于点B的对称点P,则P点坐标为(1,0)

过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，

将x=1代入，得y=4，

过点N作直线NM交直线l于点M，

在△BPN和△BFM中，

∠NBP=∠MBF，

BF=BP，

∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，

∴四边形ANCM为平行四边形，

∴坐标(1,4)的点N符合条件，

∴当N的坐标为(5,12),(11,140),(1,4)时，以点A. C.M、N为顶点的四边形为平行四边形.