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【题目】如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点E从点D出发,沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动,点F从点B出发,沿射线AB以每秒3个单位的速度运动,当点E运动到点A时,E、F两点停止运动.连结BD,过点E作EH⊥BD,垂足为H,连结EF,交BD于点G,交BC于点M,连结CF.

(1)△CDE与△CBF相似吗?为什么?

(2)求证:∠DBC=∠EFC;

(3)同线段GH的值是定值吗?如果不是,请说明理由;如果是,求出这个定值.

【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)是定值

【解析】

(1)根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断;

(2)想办法证明DCB∽△ECF,可得∠DBC=EFC;

(3)结论:线段GH的值是定值.GH=.由EDC∽△EHG,可得,由AB=DC,可得,想办法用t表示EH,代入化简即可解决问题.

(1)∵四边形ABCD是矩形,ADBC,AB=DC,

∴∠CDA=DCB=DAB=ABC=90°,

∵∠CDE=FBC=90°

∴△CDE∽△CBF;

(2)证明:∵△CDE∽△CBF,

∴∠DCE=BCF,

∵∠DCE+BCE=90°,

∴∠BCE+BCF=90°,

∴∠ECF=90°,

∵∠DCB=ECF

∴△DCB∽△ECF,

∴∠DBC=EFC.

(3)结论:线段GH的值是定值.GH=

理由:作CNDBN,

AD=BC=6,AB=2,

BD==2

∵∠EDH=ADB,EHD=DAB,

∴△DEH∽△DBA,

EH=t,

∵△DCB∽△ECF,

∴∠DBC=EFC,

∴∠CDB=CEF,

∵∠CDB+DCN=90°,DCN+NCB=90°,

∴∠BDC=NCB=CEF

CNBD,EHDB,

CNEH,

∴∠NCE=CEH,

∴∠ECB=HEG,

ADBC,

∴∠DEC=ECB,

∴∠DEC=HEG,

∵∠EDC=EHG=90°,

∴△EDC∽△EHG,

AB=DC,

HG=

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