Question

【题目】(1)探索发现

如图1，在△ABC中，点D在边BC上，△ABD与△ADC面积分别记为S1和S2，试判断与的数量关系，并说明理由.

(2)阅读分析

小东遇到这样一个问题：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，射线AM交BC于点D，点E，F在AM上，且∠CEM=∠BFM=90°，试判断BF，CE，EF三条线段之间的数量关系.

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决.

填空：①图2中的一对全等三角形为_________；

②BF，CE，EF三条线段之间的数量关系为__________________.

(3)类比探究

如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点O，点E、F在射线AC上，且∠BCF=∠DEF=∠BAD.

①判断BC，DE，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若OD=3OB，△AED的面积为2，直接写出四边形ABCD的面积.

Answer 1

【答案】（1）=;（2）①△AEC≌△BFA，②EC=EF+BF; （3）①DE=BC+CE, ②8

【解析】

（1）过点A作AEBC,然后根据三角形面积公式求得两个三角形的面积，即可得出答案；（2）依据AAS可证明△AEC≌△BFA,由全等三角形的性质可得，AE=BF,EC=AF,由AF=EF+AE,通过等量代换即可得出答案；

（3）①依据AAS可证明△ABC≌△DAE,通过等量代换即可得出答案，②因为△AED的面积为2，根据全等三角形的性质可得S△ABC=2,然后根据（1）中的结论可求S△ADC=3S△ABC=6,即可得到答案.

解：（1）=,

理由：如图，过点A作AEBC,

∵S1=S△ABD=BDAE,S2= S△ADC=DCAE,

∴==;

（2）①△AEC≌△BFA，

理由：∵∠CEM=∠BFM=90°,

∴∠BFA=∠AEC=90°,

∴∠ABF+∠BFA=90°,

又∵∠BFA+∠FAC=90°,

∴∠ABF=∠EAC,

∵∠BFA=∠AEC=90°,

∠ABF=∠EAC,AB=AC,

∴△AEC≌△BFA.

②EC=EF+BF,

理由：∵△AEC≌△BFA,

∴AE=BF,EC=AF,

又∵AF=EF+AE,

∴EC=EF+BF.

（3）①DE=BC+CE,

理由：∵∠BCF=∠DEF,

∴∠AED=∠BCA,

∵∠ADE+∠EAD=∠DEF,

∠ABF+∠FAD=∠BAD,

∠DEF=∠BAD,

∴∠BAF=∠ADE,

∵∠AED=∠BCA,

∠BAC=∠ADE,AB=AD,

∴△ABC≌△DAE,

∴BC=AE,DE=AC,

又∵AC=AE+EC,

∴DE=BC+CE.

②∵△ABC≌△DAE, S△AED=2,

∴S△ABC=2,

∵OD=3OB,

∴,,

∴S△ADC=3S△ABC=6,

∴S四边形ABCD= S△ADC+ S△ABC=8.