【题目】如图①,在中,
,
,
为
边上一点(不与点
,
重合),将线段
绕点
逆时针旋转
得到
,连接
,则:
(1)①的度数是 ;②线段
,
,
之间的数量关系是 ;
(2)如图②,在中,
,
,
为
边上一点(不与点
,
重合),将线段
绕点
逆时针旋转
得到
,连接
,请判断线段
,
,
之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图②,与
交于点
,在(2)条件下,若
,求
的最小值.
【答案】(1)①60°,②;(2)
,证明见解析;(3)4
【解析】
(1)①先判断出∠BAD=∠CAE,即可判断出△ABD≌△ACE,即可得出结论;
②由①得,△ABD≌△ACE,得出BD=CE,即可得出结论;
(2)先判断出BC=AC,再同(1)的方法判断出△ABD≌△ACE,即可得出结论;
(3)先判断出点A,D,C,E四点共圆,再由AF最小判断出四边形ADCE是矩形,即可得出结论.
(1)①∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠B=∠BAC=60,
由旋转知,AD=AE,∠DAE=60=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ACE=∠B=60,
故答案为:60;
②由(1)知,△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=CE+CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,
∴AC=CE+CD,
故答案为:AC=CE+CD;
(2)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,
∴BC==
AC,
由旋转知,AD=AE,∠DAE=90=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=CE+CD,
∴AC=CE+CD;
(3)由(2)知,△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠ABD,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠ACB=45,
∴∠ACE=45,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90,
∵∠DAE=90,
∴∠BCE+∠DAE=180,
∴点A,D,C,E在以DE为直径的圆上,
∵AC与DE交于点F,
∴AF是直径DE上的一点到点A的距离,
即:当AF⊥DE时,AF最小,
∴∠CFD=90,
∴∠CDF=90°∠ACB=45°,
∵∠ADE=45°,
∴∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形,
∴AF最小=AC=4.
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【题目】已知:如图,AD是△ABC的角平分线,过点B、C分别作AD的垂线,垂足分别为F、E,CF和EB相交于点P,联结AP.
(1)求证:△ABF∽△ACE;
(2)求证:EC∥AP.
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【题目】某班数学兴趣小组根据学习函数的经验,通过列表、描点、连线的方法对函数 y=的图象与性质进行了研究,研究过程如下,请补充完整.
(1)y 与 x 的几组对应值如下表:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
|
| 6 | 6 | m | … |
函数 y=的自变量 x 的取值范围是 ,m 的值为 ;
(2)在给出的平面直角坐标系中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,画出函数 y=的大致图象,并写出该函数的两条性质;
(3)在同一坐标系中画出函数 y1=x 的图象,并根据图象直接写出当 y>y1 时,自变量 x 的取值范围.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AB=3,E在AC上且AE=AC,D是直线BC上一动点,线段ED绕点E逆时针旋转900,得到线段EF,当点D运动时,则线段AF的最小值是_______
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【题目】如图,在二次函数的图象中,小明同学观察得出了下面几条信息:①;②
;③
;④
;⑤关于
的一元二次方程
无实数根,其中信息正确的个数为( ).
A.4B.3C.2D.1
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.
(1)求BC的长;
(2)若∠CBE=36°,求∠ADC.
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【题目】为了积极助力脱贫攻坚工作,如期打赢脱贫攻坚战,某驻村干部带领村民种植草莓,在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘.现有甲、乙两家果园可供采摘,这两家草莓的品质相同,售价均为每千克30元,但是两家果园的采摘方案不同:
甲果园:每人需购买20元的门票一张,采摘的草莓按6折优惠;
乙果园:不需要购买门票,采摘的草莓按售价付款不优惠.
设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为千克,在甲、乙果园采摘所需总费用分别为
、
元,其函数图象如图所示.
(1)分别写出、
与
之间的函数关系式;
(2)请求出图中点的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算.
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【题目】图1的矩形ABCD中,E点在AD上,且AB=,AE=1.今分别以BE、CE为折线,将A、D向BC的方向折过去,图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图.若图2中,∠AED=15°,则∠AEC的度数是( )
A.10°B.15°C.20°D.22.5°
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