【题目】小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考,请你帮他完成如下问题:
(1)他认为该定理有逆定理:“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半,那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①,在中,
是
边上的中线,若
,求证:
.
(2)如图②,已知矩形,如果在矩形外存在一点
,使得
,求证:
.(可以直接用第(1)问的结论)
(3)在第(2)问的条件下,如果恰好是等边三角形,请求出此时矩形的两条邻边
与
的数量关系.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论;
(2)先判断出OE=AC,即可得出OE=
BD,即可得出结论;
(3)先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形,即可构造直角三角形即可得出结论.
(1)∵AD=BD,
∴∠B=∠BAD,
∵AD=CD,
∴∠C=∠CAD,
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°,
∴∠BAC=90°,
(2)如图②,连接与
,交点为
,连接
四边形
是矩形
(3)如图3,过点做
于点
四边形
是矩形
,
是等边三角形
,
由(2)知,
在
中,
,
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线的“方点”的坐标;
(2)如图,若将该抛物线向左平移1个单位长度,新抛物线与轴相交于
、
两点(
在
左侧),与
轴相交于点
,连接
.若点
是直线
上方抛物线上的一点,求
的面积的最大值;
(3)第(2)问中平移后的抛物线上是否存在点,使
是以
为直角边的直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2t=0(t为实数)在﹣1<x≤4的范围内有解,则t的取值范围是_____.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分线BE与AD交于点E,∠BED的角平分线EF与DC交于点F,若AB=8,DF=3FC,则BC=__________.
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【题目】小明家1至6月份的用水量统计如图所示,关于这组数据,下列说法错误的是( ).
A、众数是6吨 B、平均数是5吨 C、中位数是5吨 D、方差是
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【题目】我市有2000名学生参加了2018年全省八年级数学学业水平测试.其中有这样一题:如图,分别以线段BD的端点B、D为圆心,相同的长为半径画弧,两弧相交于A、C两点,连接AB、AD、CB、CD.若AB=2,BD=2,求四边形ABCD的面积.
统计我市学生解答和得分情况,并制作如下图表:
(1)求学业水平测试中四边形ABCD的面积;
(2)请你补全条形统计图;
(3)我市该题的平均得分为多少?
(4)我市得3分以上的人数为多少?
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【题目】观察下列各式及其验证过程:,验证:
,验证:
.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,直接写出用a(a≥2的整数)表示的等式.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为( )
A.(,0)B.(2,0)C.(
,0)D.(3,0)
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