Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=8，DF=3FC，则BC=__________.

Answer 1

【答案】6+2．

【解析】

先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出比例式，DF=3FC计算得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．

解：延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于；

∴∠ABE=∠AEB=45°，

∴AB=AE=8，

∴直角三角形ABE中，BE=8，

又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，

∴∠BEG=∠DEF

∵AD∥BC

∴∠G=∠DEF

∴∠BEG=∠G

∴BG=BE=8，

∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，

∴△EFD∽△GFC

∵DF=3FC，

设CG=x，DE=3x，则AD=8+3x=BC

∵BG=BC+CG

∴8=8+3x+x

解得x=2-2，

∴BC=8+3（2-2）=6+2，

故答案为：6+2．