【题目】定义:点P在△ABC的边上,且与△ABC的顶点不重合.若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似(但不全等),则称点P为△ABC的自相似点.如图①,已知点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,1).
(1)若点P的坐标为(2,0),求证点P是△ABC的自相似点;
(2)求除点(2,0)外△ABC所有自相似点的坐标;
(3)如图②,过点B作DB⊥BC交直线AC于点D,在直线AC上是否存在点G,使△GBD与△GBC有公共的自相似点?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)△CPA∽△CAB,此时P(,);△BPA∽△BAC,此时P(,);(3)S(3,-2)是△GBD与△GBC公共的自相似点,见解析
【解析】
(1)利用:两边对应成比例且夹角相等,证明△APC∽△CAB即可;
(2)分类讨论:△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC,分别求得P点的坐标;
(3)先求得点D的坐标,说明点G(5,)、S(3,-2)在直线AC:上,证得△ABC△SGB,再证得△GBS∽△GCB,说明点S是△GBC的自相似点;又证得△DBG△DSB,说明点S是△GBD的自相似点.从而说明S(3,-2)是△GBD与△GBC公共的自相似点.
(1)如图,
∵A(1,0),B(3,0),C(0,1),P(2,0),
∴AP=2-1=1,
AC=,
AB=3-1=2,
∴,,
∴=,
∵∠PAC=∠CAB,
∴△APC∽△CAB,
故点P是△ABC的自相似点;
(2)点P只能在BC上,
①△CPA∽△CAB,如图,
由(1)得:AC,AB,
又,
∵△CPA∽△CAB,
∴,
∴,
∴,
过点P作PD∥y轴交轴于D,
∴,,
∴,,
∴,,
P点的坐标为(,)
②△BPA∽△BAC,如图,
由前面获得的数据:AB,,
∵△BPA∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
过点P作PE∥y轴交轴于E,
∴,
∴,
∴,,
∴,
P点的坐标为(,);
(3)存在.当点G的坐标为(5,)时,△GBD与△GBC公共的自相似点为S(3,).理由如下:
如图:
设直线AC的解析式为:,
∴,
解得:,
∴直线AC的解析式为:,
过点D作DE⊥x轴于点E,
∵∠CBO+∠DBE=90,∠EDB+∠DBE=90,
∴∠CBO=∠EDB,
∴,
∴,
设BE=a,则DE=3a,
∴OE=3-a,
∴点D的坐标为(3-a,-3a) ,
∵点D在直线AC上,
∴,
解得:,
∴点D的坐标为(,) ;
如下图:当点G的坐标为(5,)时,△GBD与△GBC公共的自相似点为S(3,).
直线AC的解析式为:,
∵,,
∴点G、点S在直线AC上,
过点G作GH⊥x轴于点H,
∵,
∴,
由S(3,)、B(3,0)知BS⊥x轴,
∴△AED、△ABS、△AHG为等腰直角三角形,
∵D (,),S,G( ,
∴,,B,
,
,,
,,,
,
在△ABC和△SGB中
∵,,
∴,
∵
∴
∴△ABC△SGB
∴∠SBG=∠BCA,
又∠SGB=∠BGC,
∴△GBS∽△GCB,
∴点S是△GBC的自相似点;
在△DBG和△DSB中,
∵,,
∴,且,
∴△DBG△DSB;
∴点S是△GBD的自相似点.
∴S(3,)是△GBD与△GBC公共的自相似点.
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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应地任务:
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则.
如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.
下面是该定理的证明过程(部分):
延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),
∴△MDI∽△ANI,
∴,
∴①,
如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF,
∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°,
∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA,
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴,∴②,
任务:(1)观察发现:, (用含R,d的代数式表示);
(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分线BE与AD交于点E,∠BED的角平分线EF与DC交于点F,若AB=8,DF=3FC,则BC=__________.
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【题目】我市有2000名学生参加了2018年全省八年级数学学业水平测试.其中有这样一题:如图,分别以线段BD的端点B、D为圆心,相同的长为半径画弧,两弧相交于A、C两点,连接AB、AD、CB、CD.若AB=2,BD=2,求四边形ABCD的面积.
统计我市学生解答和得分情况,并制作如下图表:
(1)求学业水平测试中四边形ABCD的面积;
(2)请你补全条形统计图;
(3)我市该题的平均得分为多少?
(4)我市得3分以上的人数为多少?
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【题目】如图,在边长为1的正方形网格中,点A(3,4),⊙A的半径为.
(1)请在网格中画出⊙A;
(2)请标出⊙A上的三个相邻的格点B1、B2、B3,连接B1B3,则由和弦B1B3围成的弓形面积为 ;
(3)线段CD,点C(6,4)、D(5,1),在⊙A上有一点M,使△CDM的面积最大,请找到此时的点M(保留必要辅助格点N).
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【题目】观察下列各式及其验证过程:,验证:,验证:.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,直接写出用a(a≥2的整数)表示的等式.
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【题目】如图,在坐标系中,抛物线经过点和,与轴交于点.直线.
抛物线的解析式为 .直线的解析式为 ;
若直线与抛物线只有一个公共点,求直线的解析式;
设抛物线的顶点关于轴的对称点为,点是抛物线对称轴上一动点,如果直线与抛物线在轴上方的部分形成了封闭图形(记为图形).请结合函数的图象,直接写出点的纵坐标的取值范围.
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