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【题目】定义:点PABC的边上,且与ABC的顶点不重合.若满足PABPBCPAC至少有一个三角形与ABC相似(但不全等),则称点PABC的自相似点.如图①,已知点ABC的坐标分别为(10)、(30)、(01).

1)若点P的坐标为(20),求证点PABC的自相似点;

2)求除点(20)外ABC所有自相似点的坐标;

3)如图②,过点BDBBC交直线AC于点D,在直线AC上是否存在点G,使GBDGBC有公共的自相似点?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2CPA∽△CAB,此时P);BPA∽△BAC,此时P();(3S3-2)是GBDGBC公共的自相似点,见解析

【解析】

1)利用:两边对应成比例且夹角相等,证明APC∽△CAB即可;

2)分类讨论:CPA∽△CABBPA∽△BAC,分别求得P点的坐标;

3)先求得点D的坐标,说明点G5)、S3-2)在直线AC上,证得ABCSGB,再证得GBS∽△GCB,说明点SGBC的自相似点;又证得DBGDSB,说明点SGBD的自相似点.从而说明S3-2)是GBDGBC公共的自相似点.

1)如图,

A10),B30),C01),P20),

AP=2-1=1

AC=

AB=3-1=2

=

∵∠PAC=CAB

APC∽△CAB

故点PABC的自相似点;

2)点P只能在BC上,

CPA∽△CAB,如图,

由(1)得:ACAB

CPA∽△CAB

过点PPDy轴交轴于D

P点的坐标为()

BPA∽△BAC,如图,

由前面获得的数据:AB

BPA∽△BAC

过点PPEy轴交轴于E

P点的坐标为();

3)存在.当点G的坐标为(5)时,GBDGBC公共的自相似点为S3).理由如下:

如图:

设直线AC的解析式为:

解得:

∴直线AC的解析式为:

过点DDEx轴于点E
∵∠CBO+DBE=90,∠EDB+DBE=90

∴∠CBO=EDB

BE=a,则DE=3a

OE=3-a

∴点D的坐标为(3-a-3a)

∵点D在直线AC上,

解得:

∴点D的坐标为()

如下图:当点G的坐标为(5)时,GBDGBC公共的自相似点为S3).

直线AC的解析式为:

∴点G、点S在直线AC上,

过点GGHx轴于点H

S3)、B30)知BSx轴,

AEDABSAHG为等腰直角三角形,

D ()SG(

,B

ABC和△SGB

ABCSGB

∴∠SBG=BCA

又∠SGB=BGC

GBS∽△GCB

∴点SGBC的自相似点;

DBG和△DSB中,

,且

DBGDSB

∴点SGBD的自相似点.

S3)是GBDGBC公共的自相似点.

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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应地任务:

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,Rr分别为外接圆和内切圆的半径,OI分别为其外心和内心,则.

如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.

下面是该定理的证明过程(部分):

延长AI⊙O于点D,过点I⊙O的直径MN,连接DMAN.

∵∠D=∠N∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)

∴△MDI∽△ANI

①,

如图2,在图1(隐去MDAN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BEBDBIIF

∵DE⊙O的直径,∴∠DBE=90°

∵⊙IAB相切于点F∴∠AFI=90°

∴∠DBE=∠IFA

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)

∴△AIF∽△EDB

②,

任务:(1)观察发现: (用含Rd的代数式表示)

(2)请判断BDID的数量关系,并说明理由;

(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;

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统计我市学生解答和得分情况,并制作如下图表:

1)求学业水平测试中四边形ABCD的面积;

2)请你补全条形统计图;

3)我市该题的平均得分为多少?

4)我市得3分以上的人数为多少?

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2)请标出⊙A上的三个相邻的格点B1B2B3,连接B1B3,则由和弦B1B3围成的弓形面积为   

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1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证;

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