Question

【题目】如图，Rt△FHG中，H=90°，FH∥x轴，，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），点D为二次函数图像的顶点.

（1）求二次函数y1的函数关系式；

（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图像上，求点G的坐标及△FHG的面积；

（3）设一次函数y=mx+m与函数y1、y2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P、Q. 且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=(x-1)2-4；（2）点G坐标为（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ为平行四边形，理由见解析.

【解析】

（1）利用顶点式求解即可,（2）将G点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,（3）作出图象,延长QH，交x轴于点R，由平行线的性质得证明△AQR∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可证明四边形CDPQ为平行四边形.

（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y轴交于点E（0，），顶点为C（1，），

∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,

（）

（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式，

得，，

解得a1=3.6，a2=-1（舍去），

所以点G坐标为（3.6,2.76）.

S△FHG=6.348

（3）y=mx+m=m（x+1），

当x=-1时，y=0，

所以直线y=mx+m

延长QH，交x轴于点R，

由平行线的性质得，QR⊥x轴.

因为FH∥x轴，

所以∠QPH=∠QAR,

因为∠PHQ=∠ARQ=90°，

所以△AQR∽△PQH,

所以 =0.6,

设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，

mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），

因为n+1≠0，

所以m=0.6..

因为y2=（x-1-m）2+0.6m-4,

所以点D由点C向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，

过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,

所以=0.6,

所以tan∠KSD=tan∠QAR，

所以∠KSD=∠QAR，

所以AQ∥CS，即CD∥PQ.

因为AQ∥CS，由抛物线平移的性质可得，CT=PH,DT=QH,

所以PQ=CD，

所以四边形CDPQ为平行四边形.