Question

18．如图，把抛物线y=$\frac{1}{2}$x²平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²交于点Q．
（1）求平移后的抛物线m的解析式和顶点P的坐标；
（2）请直接写出图中阴影部分的面积为$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 （1）抛物线C₁与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，进而即可求得顶点P的坐标；
（2）图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，利用三角形面积公式即可求解；

解答 解：（1）∵把抛物线y=$\frac{1}{2}$x²平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），
∴抛物线m的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-0）（x+6）=$\frac{1}{2}$x²+3x=$\frac{1}{2}$（x+3）²-$\frac{9}{2}$；
∴P（-3，-$\frac{9}{2}$）；
（2）把x=-3代入=$\frac{1}{2}$x²得y=$\frac{9}{2}$，
∴Q（-3，$\frac{9}{2}$），
∵图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S_△POQ=$\frac{1}{2}$×9×3=$\frac{27}{2}$．
∴阴影部分的面积为$\frac{27}{2}$．
故答案为$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．