【题目】如图,在中,,以为直径的⊙交于点,点为上一点,连接、,.
(1)求证:是⊙的切线;
(2)若,⊙半径为2,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AD=6.
【解析】
(1)连接OD.根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论;
(2)连接,利用直径所对的圆周角是直角,证得ED=EA=EC,利用三角形中位线定理求得∠A=30°,再利用直角三角形中30度角的性质,即可求解.
(1)连接,
∵ED=EA,
∴∠A=∠ADE,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠BDO,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°.
∴∠ADE+∠BDO=90°,
∴∠ODE=90,
∴DE是⊙O的切线;
(2)连接,如图:
∵ED=EA,
∴∠A=∠ADE,
∵BC为直径,
∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵∠A+∠ACD=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴ED=EC,
∴ED=EA=EC,
∴点E为AC中点,
∵点O为BC中点,
∴OE∥AB,
∴∠CEO=∠A=30°,
在中,∠OCE=90°,OC=2,∠CEO =30°,
∴,
∴,
在中,∠ADC=90°,,∠A =30°,
∴,
.
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【题目】已知:如图,在半径是4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M是OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连接DE,DE=.
(1)求证:△AMC∽△EMB;
(2)求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.
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【题目】如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AB=5,作∠ABC的平分线交AC于点D,在AB上取点O,以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F(异于点B).
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点E恰好是AO的中点,求的长;
(3)若CF的长为,①求⊙O的半径长;②点F关于BD轴对称后得到点F′,求△BFF′与△DEF′的面积之比.
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【题目】如图,已知A(3,0),B(0,-1),连接AB,过B点作AB的垂线段,使BA=BC,连接AC.
(1)如图1,求C点坐标;
(2)如图2,若P点从A点出发,沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角三角形△BPQ,连接CQ.求证:PA=CQ.
(3)在(2)的条件下,若C、P、Q三点共线,求此时P点坐标及∠APB的度数.
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【题目】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( )
A. ∠2=∠4+∠7 B. ∠3=∠1+∠6 C. ∠1+∠4+∠6=180° D. ∠2+∠3+∠5=360°
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【题目】我们把有两边对应相等,且夹角互补(不相等)的两个三角形叫做“互补三角形”,如图1,□ABCD中,△AOB和△BOC是“互补三角形”.
(1)写出图1中另外一组“互补三角形”_______;
(2)在图2中,用尺规作出一个△EFH,使得△EFH和△EFG为“互补三角形”,且△EFH和△EFG在EF同侧,并证明这一组“互补三角形”的面积相等.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;
(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y1=2x2+的顶点为M,直线y2=x,点P(n,0)为x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1=2x2+和直线y2=x于点A、点B
(1)直接写出A、B两点的坐标(用含n的代数式表示)
(2)设线段AB的长为d,求d关于n的函数关系式及d的最小值,并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为整数且a≠0),对一切实数x恒有x≤y≤2x2+,求a,b,c的值.
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