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【题目】如图,在直角△ABC中,∠C90°AB5,作∠ABC的平分线交AC于点D,在AB上取点O,以点O为圆心经过BD两点画圆分别与ABBC相交于点EF(异于点B).

1)求证:AC是⊙O的切线;

2)若点E恰好是AO的中点,求的长;

3)若CF的长为,①求⊙O的半径长;②点F关于BD轴对称后得到点F′,求△BFF′与△DEF′的面积之比.

【答案】1)见解析;(2;(3)①r11;②△BFF'与△DEF'的面积比为

【解析】

1)连结,证明,得出,则结论得证;

2)求出,连结,则,由弧长公式可得出答案;

3如图3,过,则,四边形是矩形,设圆的半径为,则,证明,由比例线段可得出的方程,解方程即可得出答案;

证明,当时,根据相似三角形的性质可得出答案.

解:(1)连结DO

BD平分∠ABC

∴∠CBD=∠ABD

DOBO

∴∠ODB=∠OBD

∴∠CBD=∠ODB

DOBC

∵∠C90°

∴∠ADO90°

AC是⊙O的切线;

2)∵EAO中点,

AEEODOBO

sinA

∴∠A30°,∠B60°

连结FO,则∠BOF60°

3)①如图3,连结OD,过OOMBCM

BMFM,四边形CDOM是矩形

设圆的半径为r,则OA5rBMFMr

DOBC

∴∠AOD=∠OBM

而∠ADO90°=∠OMB

∴△ADO∽△OMB

解之得r11

②∵在(1)中∠CBD=∠ABD

DEDF

BE是⊙O的直径,

∴∠BDE90°

FF'关于BD轴对称,

BDFF'BFBF'

DEFF'

∴∠DEF'=∠BF'F

∴△DEF'∽∠BFF'

r1时,AO4DO1BO1

的面积之比

同理可得,当时.时,的面积比

的面积比为

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