Question

【题目】如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．

（1）求的值；

（2）若，求反比例函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．

【解析】

（1）根据点M的坐标代入反比例关系：中，可得结论；

（2）根据△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k2的值；

（3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；

如图3，点P在x轴的负半轴上时；

如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．

解：（1）如图1，

∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，

∴M的横坐标为1，当x=1时，y=k1+5，

∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函数的图象上，

∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5；

（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，

∴CM∥DN，

∴△ACM∽△ADN，

∴，

∵CM=1，

∴DN=4，当x=4时，y=4k1+5，

∴N（4，4k1+5），

∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，

∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4，

∴反比例函数的解析式：；

（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；

如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，过Q作QH⊥x轴于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函数的解析式：；

当x=1时，y=4，

∴M（1，4），

∴OC=PH=4，

设P（x，0），

∴Q（x+4，x），

当点Q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±，

当x=﹣2+时，x+4=2+，

如图2，Q（2+，﹣2+）；

当x=﹣2﹣时，x+4=2﹣，如图3，Q（2﹣，﹣2﹣）；

如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，

设P（x，0），过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH，

∴PG=QH=4，CG=PH=x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2，

∴Q（﹣2，﹣2），

综上所述，点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．