Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝2x2+的顶点为M，直线y2＝x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1＝2x2+和直线y2＝x于点A、点B

（1）直接写出A、B两点的坐标（用含n的代数式表示）

（2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；

（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，求a，b，c的值．

Answer 1

【答案】（1）A（n，2n2+），B（n，n）；（2）d＝2（n﹣）2+，d最小值，此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB＝PM；（3）a＝1，b＝1，c＝0．

【解析】

(1)由题意不难看出：点P、A、B三点的横坐标相同，将点P横坐标代入函数y1、y2的解析式中即可确定A、B两点的坐标．

(2)首先根据题意画出图形，可看出抛物线y1的图象始终在直线y2的上方，那么线段AB的长可由点A、B的纵坐标差求得，据此求出关于d、n的函数解析式，根据函数的性质先确定出符合题意的n、d值，即可确定点B、P的坐标，点M的坐标易得，根据这四点坐标即可确定线段OB、PM的位置和数量关系．

(3)首先将函数解析式代入不等式中，再根据利用函数图象解不等式的方法来求出待定系数的取值范围，最后根据a、b、c都是整数确定它们的值．

(1)当时，；

∴．

(2)．

∴．

∴当时，d取得最小值．

此时，B(，)，而M(0，)、P(，0)，

∴四边形OMBP是正方形，

∴当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM．(如图)

(3)∵对一切实数恒有，

∴对一切实数，都成立①

当时，①式化为．

∴整数c的值为0．

此时，对一切实数，都成立

即 对一切实数均成立．

由②得 对一切实数均成立．

∴．

由⑤得整数的值为1．

此时由③式得，对一切实数均成立

即对一切实数x均成立

当时，此不等式化为，不满足对一切实数均成立．

当时，∵对一切实数x均成立，(a≠0)

∴

∴由④，⑥，⑦得．

∴整数的值为1．

∴整数的值分别为．