Question

【题目】如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当时，求点M的坐标；

（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（，﹣）或（，）或（3，﹣2）．

【解析】

（1）根据题意直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；

（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（m﹣）x﹣2，则点N（，0），当＝时，则＝，即＝，进行分析即可求解；

（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．

解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），

则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2①；

（2）设点M（m，m2﹣m﹣2）、点A（0，﹣2），

将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线MA的表达式为：y＝（m﹣）x﹣2，

则点N（，0），

当＝时，则＝，即：＝，

解得：m＝5或﹣2或2或1，

故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；

（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，

则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，

联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），

故点P（﹣1，0）；

②当∠PAB＝∠OAB时，

当点P在AB上方时，无解；

当点P在AB下方时，

将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，

则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，

则sin∠H＝，即：，解得：x＝，则点H（﹣，0），．

则直线AH的表达式为：y＝﹣x﹣2③，

联立①③并解得：x＝，故点P（，﹣）；

③当∠PAB＝∠OBA时，

当点P在AB上方时，

则AH＝BH，

设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，

故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝，

故点H（，0），

则直线AH的表达式为：y＝x﹣2④，

联立①④并解得：x＝0或（舍去0），

故点P（，）；

当点P在AB下方时，

同理可得：点P（3，﹣2）；

综上，点P的坐标为：（﹣1，0）或（，﹣）或（，）或（3，﹣2）．