Question

【题目】某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①CF与BC的位置关系为　 　；

②CF，DC，BC之间的数量关系为　 　（直接写出结论）；

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝2，请求出线段CE的长．

Answer 1

【答案】（1）①垂直；②BC＝CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，结论：CD＝CF+BC．理由见解析；（3）CE＝3．

【解析】

（1）①由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；

（2）由∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．

（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M如图3所示，想办法证明△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，推出CM＝EM＝3，即可解决问题．

解：（1）①

等腰直角△ADF中，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB与△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠B＝∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；

②△DAB≌△FAC，

∴CF＝BD，

∵BC＝BD+CD，

∴BC＝CF+CD；

故答案为：垂直，BC＝CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，结论：CD＝CF+BC．理由如下：

∵等腰直角△ADF中，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB与△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠ABD＝∠ACF，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，

∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，

∴CF⊥BC．

∵CD＝DB+BC，DB＝CF，

∴CD＝CF+BC．

（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M如图3所示：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，

∴BC＝AB＝4，AH＝BH＝CH＝BC＝2，

∴CD＝BC＝1，

∴DH＝CH+CD＝3，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝DE，∠ADE＝90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE＝CM，EM＝CN，

∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，

∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，

∴∠ADH＝∠DEM，

在△ADH与△DEM中，

，

∴△ADH≌△DEM（AAS），

∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，

∴CM＝EM＝3，

∴CE＝＝3．