Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点F，AC是⊙O的直径，延长CB到点E，连接AE，∠BAE＝∠ADB，AN⊥BD，CM⊥BD，垂足分别为点N、M．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；

（3）若BD＝BC，MN＝2DM，当AE＝时，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝BN；证明见解析；（3）OF=．

【解析】

（1）由圆周角定理得出，，得出，证出，得出，即可得出结论；

（2）证，得出，证，得出，即，进而得出结论；

（3）由（2）知，则，设，则，，，由勾股定理得出，证，得出，求出，，，由，求出，得出，，证，求出，即可得出答案．

解：（1）证明：是的直径，

，

，

，，

，即，

，

是的切线；

（2）解：，理由如下：

，，，

，

，

，

，

，

，，

，

，即，

，

；

（3）解：由（2）知，则，

设，

，，

，，，

，

，

是的直径，，

，

，

，

，

设，，

，，

，即，

解得：，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．