Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；

（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，点P

【解析】

（1）设一次函数解析式为：y=mx+n，把B、C点坐标分别代入一次函数解析式和二次函数解析式即可解出．

（2）若四边形是菱形，和OC相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得．

解：（1）设直线BC的解析式为：y＝mx+n，有：

，

解得：m＝1，n＝﹣3；

∴直线BC：y＝x﹣3．

将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c中，得：

，

解得：b＝﹣2，c＝﹣3；

∴抛物线：y＝x2﹣2x﹣3．

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为﹣，代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得：

﹣＝x2﹣2x﹣3，

解得 x1＝ ，x2＝ （舍去）

∴点P