Question

【题目】将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A′处，AD交BC于点E，点F在CD上，连接EF，且CE＝3CF，如图1．

（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；

（2）若∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；

（3）在（2）的条件下，点G在BD上，且不与B、D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH、DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B′恰好落在EH的延长线上，如图2．当BH＝8时，求GH的长．

Answer 1

【答案】（1）△BDE是等腰三角形；理由见解析；（2）tan∠CDE＝；（3）GH＝．

【解析】

（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，由等角对等边可得是等腰三角形；

（2）如图1，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得：，设，，由勾股定理得，，设，根据三角函数定义可得，最后利用勾股定理列方程可得与的关系，从而得结论；

（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而由等腰三角形三线合一的性质得，证明，列比例式可得结论．

解：（1）是等腰三角形，

理由是：如图1，四边形是矩形，

，

，

由折叠得：，

，

，

是等腰三角形；

（2）如图1，过点作于，

，

，

四边形是矩形，

，

，

设，，

，

，

，，

，

设，

，

，

，

，即，

解得：或（舍，

；

（3）如图2，过点作，

由折叠得：，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，，，

，

由（2）知：，则，

，

，，

，

，

．