Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点A(4，0)，B(0，)，C(1，)中，⊙O的伴随点是　 　；

②点D在直线y＝x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；

（2）⊙M的圆心为M(m，0)，半径为2，直线y＝2x﹣2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①B，C；②；（2）或．

【解析】

（1）①画出图形，利用勾股定理、圆的切线的性质求出切线长，再根据⊙O的伴随点的定义判断即可；

②如图2中，设点D的坐标为，先求出当切线长为时，OD的长，再利用两点之间的距离公式可求出d的值，由此即可得出答案；

（2）求出临界位置时m的值即可判断：①如图3-1中，设FT是⊙M的切线，当时，求出此时m的值，再根据伴随点的定义，结合图象即可得；②如图3-2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则，求出此时临界位置m的值，再根据伴随点的定义，如图3-3中，当⊙M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT，求出临界位置m的值，然后结合图象即可得．

（1）①如图1，为⊙O的三条切线

⊙O的半径为1

则切线AG的长为

切线BN的长为

切线CM的长为

由⊙O的伴随点的定义得：点B，C是⊙O的伴随点

故答案为：B，C；

②如图2中，设点D的坐标为

当过点D的切线长为时，

由两点之间的距离公式得：

解得

结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是；

（2）对于

当时，，解得，则点E的坐标为

当时，，则点F的坐标为

⊙M的半径为2，⊙M的圆心为

，

由题意，由以下两种情况：

如图3-1中，点M在点E的右侧

设FT是⊙M的切线

则有两个临界位置：和点E对应的切线长为0

当时，则

当点E对应的切线长为0，即

解得

结合图象得，当时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点

②如图3-2和3-3中，点M在点E的左侧

则有如下两个临界位置：

如图3-2，设ET是⊙M的切线，连接MT，则

当时，

此时

解得

如图3-3，当⊙M在直线EF的左侧与EF相切时，设切点为T，连接MT

∵

∴

∴

∵EF是切线

∴

∴

∵

∴

∴，即

解得，即

解得

结合图象得，当时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点

综上，m的取值范围是或．