Question

【题目】有一道作业题：

（1）请你完成这道题的证明；

已知：如图1，在正方形ABCD中，G是对角线BD上一点（G与B，D不重合）连结AG，CG

求证：△BAG≌△BCG

（2）做完（1）后，小颖善于反思，她又提出了如下的问题，请你解答．

如果在射线CB上取点E，使GE＝GC，连结GE．

①如图2，当点E在线段CB上时，求证：AG⊥EG．

②探究线段AB，BE，BG之间的数量关系．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②当点E在线段CB上时，AB+BE＝BG；当点E在线段CB延长线上时，AB﹣BE＝BG．

【解析】

（1）由正方形知BD平分∠ABC，据此得∠ABG＝∠CBG，结合AB＝BC，BG＝BG即可得证；

（2）①由△BAG≌△BCG知∠BAG＝∠BCG，据此得GE＝GC，∠BCG＝∠GEC，从而知∠GEC＝∠BAG，再根据∠GEC+∠BEG＝180°知∠BAG+∠BEG＝180°，从而得∠ABE+∠AGE＝180°，即可得证；

②分点E在线段CB上和点E在线段CB延长线上两种情况分别求解可得．

解：（1）如图1，

在正方形ABCD中，BD是对角线，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABG＝∠CBG，

又∵AB＝BC，BG＝BG，

∴△BAG≌△BCG（SAS）；

（2）①如图2，

由（1）知△BAG≌△BCG，

∴∠BAG＝∠BCG，

∴GE＝GC，

∴∠BCG＝∠GEC，

∴∠GEC＝∠BAG，

又∵∠GEC+∠BEG＝180°，

∴∠BAG+∠BEG＝180°，

∴∠ABE+∠AGE＝180°，

又∵∠ABE＝90°，

∴∠AEG＝90°，

∴AG⊥EG．

②如图3，当点E在线段CB上时，作GH⊥BC于H，

在Rt△BGH中，BH＝ BG，

∵BE＝BH﹣EH①，AB＝BH+CH②，

∵GE＝GC，

∴EH＝CH，

∴①+②，得：AB+BE＝2BH，

∴AB+BE＝BG；

如图3，当点E在线段CB延长线上时，作GH⊥BC于H，

在Rt△BGH中，BH＝BG，

∵BE＝EH﹣BH①，AB＝BH+HC②，

∴②﹣①，得：AB﹣BE＝2BH，

∴AB﹣BE＝BG．