Question

如图2 - 81所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕点B逆时针旋转得到的．点O′在x轴的正半轴上，点B的坐标为(1，3)．

    (1)如果二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0)的图象经过O，O′两点，且图象顶点M的纵坐标为－l，求这个二次函数的解析式；

    (2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点P，使得△POM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；

(3)求边C′O′所在直线的解析式．

Answer 1

解：(1)如图2－83所示，连接BO，BO′，则BO=BO′．∵BA⊥OO′，∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴解得∴所求二次函数的解析式为y＝x²－2x． 

(2)假设存在满足题设条件的点P(x，y)．连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y．∵P(x，y)在二次函数y=x²－2x的图象上，∴x＝x²－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在对称轴的右侧，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的点．连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形，∴点O′(2，0)也是满足条件的点，∴满足条件的点是P(2，0)或P(3，3)，∴OP=3，OM=，∴S_△POM=OP·OM=3或S_△POM＝OM·O′M=1． 

(3)设AB与C′O′的交点为D(1，y)，显然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，AO′²＋AD²＝O′D²，即1＋y²＝(3－y)²，解得y=，∴D(1，)．设边C′O′所在直线的解析式为y＝kx＋b，则解得∴所求直线的解析式为y=