Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴负半轴交于点H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点E，F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点（点E在点F上方），且EF=1，求使四边形BDEF的周长最小时的点E，F坐标及最小值；
（3）如图2，点P为对称轴左侧，x轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC于点Q，是否存在这样的点P使△PCQ与△ACH相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点C（﹣1，4）．

将D点向下平移1个单位，得到点M，连结AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，如图1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，

∴四边形EFMD是平行四边形，

∴DE=FM，EF=DM=1，

DE+FB=FM+FA=AM．

由勾股定理，得AM= = = ，BD= = = ，

四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM= +1+ ；

设AM的解析式为y=mx+n，将A（﹣3，0），M（0，2）代入，解得m= ，n=2，则AM的解析式为y= x+2，

当x=﹣1时，y= ，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ）．

故四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣1， ），点F坐标为（﹣1， ），四边形BDEF周长的最小值是 +1+ ；

（3）解：点P在对称轴左侧，当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH．

过点A作CA的垂线交PC与点F，作FN⊥x轴与点N．则AF∥PQ，

∴△CPQ∽△CFA，

∴ = =2．

∵∠CAF=90°，

∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，

∴∠BFA=∠CAH．

又∵∠FNA=∠AHC=90°，

∴△FNA∽△AHC，

∴ = = = ，即 = = ．

∴AN=2，FN=1．

∴F（﹣5，1）．

设直线CF的解析式为y=kx+b，将点C和点F的坐标代入得： ，解得：k= ，b= ．

∴直线CF的解析式为y= x+ ．

将y= x+ 与y=﹣x2﹣2x+3联立得： 解得： 或 （舍去）．

∴P（﹣ ， ）．

∴满足条件的点P的坐标为（﹣ ， ）．

【解析】（1）直接利用待定系数法来求解；
（2）把（1）中得到的解析式写成顶点式可得C的坐标，将D点向下平移1个单位，得到点M，连结AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，进而可得四边形EFMD是平行四边形，由平行四边形的性质和勾股定理可求得AM、BD，进而可求出四边形BDEF周长的最小值，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，从而得到F的坐标，然后由EF=1得出E的坐标；
（3）过点A作CA的垂线交PC与点F，作FN⊥x轴与点N．则AF∥PQ.当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH．再证明△CPQ∽△CFA和△FNA∽△AHC，由相似三角形的性质可求出AN、FN的长，进而得到F点的坐标，再求出直线CF的解析式，然后与抛物线解析式联立，求出P点的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对轴对称的性质的理解，了解关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．