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【题目】阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积。

小明发现:分别延长QE、MF、NG、PH交FA、GB、HC、ED的延长线于点R、S、T、W可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)

请回答:

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为__________;

(2)求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法,解决问题:

如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线,得到等边△RPQ,若,则AD的长为__________.

【答案】(1)a(2)2(3)

【解析】

试题(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a2,边长为a

2)如题图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积;

3)参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换.如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和.据此列方程求出AD的长度.

试题解析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为a,

每个等腰直角三角形的面积为:aa=a2,

则拼成的新正方形面积为:a2=a2,即与原正方形ABCD面积相等,

这个新正方形的边长为a

2四个等腰直角三角形的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2,

∴S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2

3)如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,FA,EC,DB的延长线于点S,T,W

由题意易得:△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长.

不妨设等边三角形边长为a,SF=AC=a

如答图2所示,过点RRM⊥SF于点M,MF=SF=a,

Rt△RMF,RM=MFtan30°==a,

∴SRSF=aa=a2

过点AAN⊥SD于点N,AD=AS=x,

AN=ADsin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,

∴SADS=SDAN=xx=x2

三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3SRSF=3×a2=a2,

∴SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS,

=3×x2,x2=,

解得x=x=(不合题意,舍去)

∴x=,AD的长为

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乙校成绩统计表

分数/分

人数/人

70

7

80

90

1

100

8

(1)在图①中,“80分”所在扇形的圆心角度数为________;

(2)请你将图②补充完整;

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