【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积。
小明发现:分别延长QE、MF、NG、PH交FA、GB、HC、ED的延长线于点R、S、T、W可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为__________;
(2)求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线,得到等边△RPQ,若,则AD的长为__________.
【答案】(1)a(2)2(3)
【解析】
试题(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a2,边长为a;
(2)如题图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积;
(3)参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换.如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和.据此列方程求出AD的长度.
试题解析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为a,
每个等腰直角三角形的面积为:aa=a2,
则拼成的新正方形面积为:4×a2=a2,即与原正方形ABCD面积相等,
∴这个新正方形的边长为a;
(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2,
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2;
(3)如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W.
由题意易得:△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长.
不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a.
如答图2所示,过点R作RM⊥SF于点M,则MF=SF=a,
在Rt△RMF中,RM=MFtan30°=a×=a,
∴S△RSF=aa=a2.
过点A作AN⊥SD于点N,设AD=AS=x,
则AN=ADsin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,
∴S△ADS=SDAN=xx=x2.
∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2,
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,
∴=3×x2,得x2=,
解得x=或x=(不合题意,舍去)
∴x=,即AD的长为.
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【题目】元旦那天,6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节.如图,圆桌半径为60 cm,每人离圆桌的距离均为10 cm,现又来了两名客人,每人向后挪动了相同的距离,再左右调整位置,使8人都坐下,并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.设每人向后挪动的距离为x,根据题意,可列方程( ).
A. =
B.
C. 2π(60+10)×6=2π(60+π)×8
D. 2π(60-x)×8=2π(60+x)×6
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【题目】在同一平面内,两条直线相交时最多有1个交点,三条直线相交时最多有3个交点,四条直线相交时最多有6个交点,…,那么十条直线相交时最多有____个交点.
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【题目】有一个计算器,计算时只能显示1.41421356237十三位(包括小数点),现在想知道7后面的数字是什么,可以在这个计算器中计算下面哪一个值( )
A. 10 B. 10(-1) C. 100 D. -1
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E,F分别是AD,CD的中点,连结BE,BF,EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为( )
A. 2B. C. D. 3
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【题目】在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路:
(1)请你按照他们的解题思路过程完成解答过程;
(2)填空:在△DEF中,DE=15,EF=13,DF=4,则△DEF的面积是_____.
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【题目】计算:老师所留的作业中有这样一道题,解方程:甲、乙两位同学完成的过程如下:
老师发现这两位同学的解答都有错误.
(1)甲同学的解答从第________步开始出现错误;错误的原因是_________________________;乙同学的解答从第_______________步开始出现错误,错误的原因是_________________________;
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程.
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【题目】某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛,甲、乙两所学校参赛人数相等,比赛结束后,发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分,并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表:
乙校成绩统计表
分数/分 | 人数/人 |
70 | 7 |
80 | |
90 | 1 |
100 | 8 |
(1)在图①中,“80分”所在扇形的圆心角度数为________;
(2)请你将图②补充完整;
(3)求乙校成绩的平均分;
(4)经计算知s甲2=135,s乙2=175,请你根据这两个数据,对甲、乙两校成绩作出合理评价.
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A(m,﹣2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;
(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状并证明你的结论.
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