【题目】如图①,在半径为6的扇形AOB中,,点C是弧AB上的一个动点(不与点
、
重合),
、
,垂足分别为D、E.
(1)①当时,线段
;
②当的度数= °时,四边形
成为菱形;
(2)试说明:四边形的四个顶点在同一个圆上;
(3)如图②,过点作
,垂足为
,连接
,随着点
的运动,在△
中是否存在保持不变的角?如果存在,请指出这个角并求出它的度数;如果不存在,请说明理由;
(4)在(3)条件下,若点从点
运动到点
,则点
的运动路径长为 .
【答案】(1)①;②60;(2)证明见详解;(3)存在,
;(4)3
【解析】
(1)①根据勾股定理即可求得线段;②点C为
中点,即
=60°时,得△OBC,△OAC为等边三角形,可得四边形
成为菱形;
(2)取中点
,连接
,
,根据直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半,证得
,问题得证;
(3)先求得∠EOD=60°,根据(2)的结论,进行角的转化,证明∠EOF=∠AOD,进而求得;
(4)根据不变,确定
的运动轨迹是一条线段,当点C与A、B重合时,OF最小,当C位于
的中点时,OF最长,分别求出OF长,计算可得.
解:(1)①∵OB=OC, ,
∴BE=,
∴在Rt△OBE中,OE=;
故答案为:;
②当∠BOC=60°时,∠AOC=60°,△OBC,△OAC为等边三角形,
∴OA=AC=OC=BC=OB,
∴四边形成为菱形;
故答案为:60;
(2)取中点
,连接
,
∵,
∴
,
∴
∴以为圆心,
为半径的圆过
三点
即四边形的四个顶点在同一个圆上
(3)答:不变,
;
证明:∵OB=OC=OA, 、
,
∴∠COE=∠BOE=,∠COD=∠AOD=
,
∴∠EOD=∠COE+∠COD=,
∵四边形的四个顶点在同一个圆上,
∴,
∴∠OED=∠OCD,
∵OF⊥DE,OD⊥OC,
∴∠OEF+∠EOF=90°, ∠OCD+∠COD=90°,
∴∠EOF=∠COD,
∵∠COD=∠AOD,
∴∠EOF=∠AOD,
∴;
(4)由(3)得,,∴点F的运动轨迹在∠AOB的平分线上,
如图1,当点C与A重合时,F与E重合,∠OAB=30°,OF⊥AB,
∴OF=;
如图2,当点C运动到中点时,∠AOD=∠DOC=30°,
OD=OA·cos∠AOD=,
OF= OD·cos∠FOD=;
∴;
当点C从点B运动到中点时,也运动了
,
∴在(3)条件下,若点从点
运动到点
,则点
的运动路径长为3.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的边 AD∥x 轴,直线y=2x+b 与 x 轴交于点 B,与反比例函数 y=(k>0)图象交于点 D 和点 E,OB=3,OA=4.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)点 P 为线段 BE 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的平行线,当△CDE 被这条平行线分成面积相等的两部分时,求点 P 的坐标.
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【题目】某校团委决定从4名学生会干部(小明、小华、小丽和小颖)中抽签确定2名同学去进行宣传活动,抽签规则:将4名同学姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,既然从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出小明被抽中的概率.
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【题目】弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件,用弹性材料制成的零件在外力作用下发生形变,除去外力后又恢复原状.某班同学在探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时,通过实验记录得到的数据如下表:
砝码的质量x(克) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 400 | 500 |
指针的位置y(cm) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.5 | 7.5 |
小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究,下面是小腾的探究过程,请补充完整.
(1)根据上述表格在平面直角坐标系中补全该函数的图象;
(2)根据画出的函数图象,写出:
①当x=0时,y= ,它的实际意义是 ;
②当指针的位置y不变时,砝码的质量x的取值范围为 .
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【题目】某商场举办抽奖活动,规则如下:在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球,这些球除颜色外都相同,顾客每次摸出一个球,若摸到红球,则获得1份奖品,若摸到黑球,则没有奖品。
(1)如果小芳只有一次摸球机会,那么小芳获得奖品的概率为 ;
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回),求小芳获得2份奖品的概率。(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
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【题目】如图,点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC交于点D,与边AC交于点E,连接AD,且AD平分∠BAC.
(1)试判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
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【题目】某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料摘录如下:
对于三个实,数,
,
,用
表示这三个数的平均数,用
表示这三个数中最小的数,例如
=4,
,
.请结合上述材料,解决下列问题:
(1)①_____,
②_____;
(2)若,则
的取值范围为_____;
(3)若,求
的值;
(4)如果,求
的值.
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【题目】如图①,直线与
轴、
轴分别交于
两点,将
沿
轴正方向平移后,点
、点
的对应点分别为点
、点
,且四边形
为菱形,连接
,抛物线
经过
三点,点
为
上方抛物线上一动点,作
,垂足为
求此抛物线的函数关系式;
求线段
长度的最大值;
如图②,延长
交
轴于点
,连接
,若
为等腰三角形,请直接写出点
的坐标.
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【题目】已知,在直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C坐标分别为A(2,0),C(-1,2),反比例函数的图象经过点B (m≠0)
(1)求出反比例函数的解析式
(2)将OABC沿着x轴翻折,点C落在点D处,做出点D并判断点D是否在反比例函数
的图象上
(3)在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形,若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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